在统计学中,方差是衡量数据分散程度的重要指标，对于连续型随机变量，我们可以通过积分来计算方差；而对于离散型随机变量，计算方差的方法则稍有不同，本文将详细介绍如何计算离散型随机变量的方差。

什么是方差？

方差（Variance）是描述一组数据中各个数值与平均值之间差异程度的一个统计量，它反映了数据的离散程度，即数据点离均值的平均距离，方差的计算公式为：

[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 ]

( \sigma^2 ) 表示方差，( N ) 表示样本数量，( x_i ) 表示第 ( i ) 个样本值，( \mu ) 表示样本均值。

离散型随机变量的定义

离散型随机变量是指那些可能取值为有限个或可数无限个数值的随机变量,掷骰子得到的点数、某班级学生的人数等都是离散型随机变量。

离散型随机变量方差的计算方法

对于离散型随机变量 ( X )，其方差的计算公式如下：

[ Var(X) = E[(X - E[X])^2] ]

( E[X] ) 表示随机变量 ( X ) 的期望值，( E[(X - E[X])^2] ) 表示 ( X ) 偏离其期望值平方的期望值。

具体步骤如下：

1. 计算期望值 ( E[X] )： 期望值 ( E[X] ) 是随机变量 ( X ) 的所有可能取值与其对应概率的加权平均，公式为：

   [ E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) ]

   ( n ) 表示随机变量 ( X ) 的可能取值个数，( x_i ) 表示第 ( i ) 个可能取值，( P(X = x_i) ) 表示随机变量 ( X ) 取值为 ( x_i ) 的概率。

2. 计算 ( E[(X - E[X])^2] )： 根据方差的定义，我们需要计算 ( X ) 偏离其期望值平方的期望值，公式为：

   [ E[(X - E[X])^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 P(X = x_i) ]

3. 计算方差： 将上一步的结果除以随机变量 ( X ) 的可能取值个数即可得到方差，公式为：

   [ Var(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 P(X = x_i) ]

举例说明

为了更好地理解上述方法,下面我们通过一个具体的例子来说明如何计算离散型随机变量的方差。

假设有一个离散型随机变量 ( X )，其可能取值为 ( x_1, x_2, x_3 )，对应的概率分别为 ( P(X = x_1), P(X = x_2), P(X = x_3) )，已知：

• ( x_1 = 1 )
• ( x_2 = 2 )
• ( x_3 = 3 )
• ( P(X = 1) = 0.2 )
• ( P(X = 2) = 0.5 )
• ( P(X = 3) = 0.3 )

计算期望值 ( E[X] )：

[ E[X] = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 1.7 ]

计算 ( E[(X - E[X])^2] )：

[ E[(X - E[X])^2] = (1 - 1.7)^2 \times 0.2 + (2 - 1.7)^2 \times 0.5 + (3 - 1.7)^2 \times 0.3 ]

[ = (-0.7)^2 \times 0.2 + (0.3)^2 \times 0.5 + (1.3)^2 \times 0.3 ]

[ = 0.49 \times 0.2 + 0.09 \times 0.5 + 1.69 \times 0.3 ]

[ = 0.098 + 0.045 + 0.507 = 0.65 ]

计算方差：

[ Var(X) = \frac{0.65}{3} = 0.2167 ]

离散型随机变量 ( X ) 的方差为 0.2167。